Algèbre linéaire

Durée

30h Th, 25h Pr

Nombre de crédits

Enseignant

Michel Rigo

Langue(s) de l'unité d'enseignement

Langue française

Organisation et évaluation

Enseignement au deuxième quadrimestre

Horaire

Horaire en ligne

Unités d'enseignement prérequises et corequises

Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme

Contenus de l'unité d'enseignement

Le cours est consacré à l'étude de l'algèbre linéaire en dimension finie. Une part importante du cours couvre les applications linéaires (image, noyau, théorème de la dimension,...), les vecteurs propres et les valeurs propres d'un endomorphisme, une théorie détaillée de la diagonalisation. On étudie aussi les matrices normales, hermitiennes et unitaires et leurs applications. Enfin, on présentei les polynômes et fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes : théorème fondamental de l'algèbre, formules de Viète, règle de Descartes, décompostion en fractions simples.

Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement

Au terme de ce cours, l'étudiant devra avoir acquis la rigueur indispensable à tout raisonnement mathématique et apprivoisé l'abstraction inhérente aux structures et concepts manipulés. Il/elle sera en mesure d'argumenter ses affirmations et maîtrisera les principaux concepts issus de l'algèbre linéaire. L'étudiant disposera d'un arsenal de résultats théoriques compris en profondeur et pour lesquels il/elle sera capable d'en fournir et d'en expliquer les preuves. Il/elle pourra mettre en oeuvre plusieurs résultats du cours pour résoudre un exercice de réflexion. Ainsi, l'étudiant sera à même de tirer parti des représentations matricielles des applications linéaires, de la diagonalisation (en ce compris le cas des matrices normales, hermitiennes et unitaires). En outre, il manipulera avec aisance les polynômes et les fractions rationnelles (par exemple, recherche d'un pgcd, décomposition en fractions simples, comportement asymptotique,...). En particulier, l'étudiant sera aussi en mesure d'exploiter les techniques acquises dans le cours d'algèbre pour résoudre des problèmes liés à d'autres branches des mathématiques ou de la physique : étude de lieux géométriques, recherche d'extrema pour des fonctions de plusieurs variables, applications de la diagonalisation aux systèmes d'équations différentielles, aux chaînes de Markov ou encore en combinatoire (par exemple, étude qualitative du nombre de chemins de longueur n dans un graphe) et en statistiques (par exemple, analyse en composantes principales), calcul de la puissance n-ième d'une matrice, ...

Savoirs et compétences prérequis

Une maîtrise parfaite des connaissances mathématiques vues dans le cours de "calcul matriciel" (MATH0069-1) est souhaitée. En particulier, les notions relatives aux espaces vectoriels seront utilisées intensivement.

Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement

Les séances de répétition sont principalement dédiées à la résolution d'exercices se rapportant à la matière enseignée. Ces séances permettent également d'obtenir des compléments d'information ou l'illustration de concepts présentés au cours théorique.
De plus, des préparations de listes d'exercices seront systématiquement demandées pour la répétition suivante.

Mode d'enseignement (présentiel, à distance, hybride)

L'horaire régulier du cours et des séances de travaux pratiques est disponible en ligne via l'application "Celcat". Cours théorique avec "tableau et craies" en interaction avec les étudiants. Ces cours sont "podcastés" (les étudiants auront donc accès aux enregistrements). Dans les séances d'exercices, les étudiants sont face à des exercices qu'ils doivent résoudre. En fonction de l'évolution de la situation sanitaire, un enseignement de type : vidéos à distance et séances de question/réponse en classe pourrait aussi être envisagé.

Adaptations organisationnelles liées au contexte sanitaire

Dans la mesure du possible, les activités en présentiel restent de mise. Si cela s'avère nécessaire, les séances de cours théoriques seront remplacées par des podcasts préenregistrés. En cas de crise aiguë, les séances d'exercices (résolution) seront aussi remplacées par des podcasts. Pour rappel, l'équipe pédagogique reste mobilisée pour repondre aux questions des étudiants (forum eCampus, e-mail, rendez-vous présentiels/distanciels). L'examen se déroulera prioritairement en présentiel (quitte à prévoir des groupes pour permettre la distanciation). L'examen écrit/oral "classique" est donc privilégié - un passage à un unique examen écrit, si le contexte le justifie, pourrait aussi être envisagé pour minimiser la présence des étudiants sur le campus. En cas de crise aiguë, l'examen pourrait se dérouler à distance, les étudiants seraient alors prévenus via leur courrier électronique ULiège des modalités précises de celui-ci (examen à distance avec production de réponses longues).

Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours

Des notes reprenant l'ensemble de la matière enseignée au cours théorique seront distribuées aux étudiants en début d'année. Ces notes sont amplement suffisantes et téléchargeables sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ Les étudiants souhaitant disposer d'autres sources d'information peuvent par exemple consulter :

• F. Liret, D. Martinais, Algèbre Licence 1ère année MIAS-MASS-SM, Dunod, 2002.
• F. Liret, D. Martinais, Algèbre et Géométrie 2e année, Dunod, 2002.
• David C. Lay, Algèbre linéaire et applications, 4e édition, Pearson France (2012).
• H. Roudier, Algèbre linéaire, CAPES & Agrégation, deuxième édition, Vuibert, 2003.

Modalités d'évaluation et critères

Vous trouverez ci-dessous les modalités d'évaluation envisagées pour les examens en présentiel et à distance ainsi que celle souhaitée en cas de session hybride. En fonction de l'évolution sanitaire, la modalité choisie vous sera communiquée au plus tard un mois avant le début de la session d'examen.

Toutes sessions confondues :

- En présentiel

évaluation écrite ( questions ouvertes )

- En distanciel

évaluation écrite ( questions ouvertes )

- Si évaluation en "hybride"

préférence en présentiel


Explications complémentaires:

L'examen en session sera exclusivement écrit. Il portera tant sur la résolution d'exercices que sur la théorie (en particulier, il est attendu que les étudiants connaissent les preuves et les justifications des résultats énoncés) et des applications immédiates de celle-ci.

Stage(s)

Remarques organisationnelles

Des compléments d'information sont disponibles sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ On peut en particulier y consulter le journal de bord de l'année en cours et aussi celui des années précédentes.

Contacts

M. Rigo
Institut de Mathématique (B37) -
Grande Traverse 12 -
Sart Tilman, 4000 Liège
Tél. : (04) 366.94.87 -
E-mail : M.Rigo@ulg.ac.be

Notes en ligne