Durée
30h Th, 30h Pr
Nombre de crédits
| Bachelier en sciences mathématiques | 6 crédits |
Enseignant
Coordinateur(s)
Langue(s) de l'unité d'enseignement
Langue française
Organisation et évaluation
Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier
Horaire
Unités d'enseignement prérequises et corequises
Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme
Contenus de l'unité d'enseignement
Abordant le concept de groupe par le biais des groupes de transformation, le point de vue axiomatique est assez tôt dégagé et illustré (groupes quotients, théorèmes d'isomorphie). Après les théorèmes de Lagrange et de Cauchy, est développé le concept d'action d'un groupe sur un ensemble, très utile en géométrie et en physique, et qui culmine dans ce cours par les théorèmes de Sylow et la classification des groupes commutatifs finis.
Ensuite sont introduits les concepts d'anneaux et de corps, mais on se contente ici de développer la théorie dans ses aspects universels, préférant une ample illustration par les anneaux d'entiers modulaires et les anneaux de polynômes.
Tout au long du cours, on respectera un équilibre entre l'apprentissage de l'abstraction (e.g. rôle de l'axiome du choix dans le théorème de Sylow) et le développement de techniques de calcul (e.g. accent mis sur les structures finies).
Pour ne pas que ces rudiments d'algèbre, base de nombreux cours de licence, ne soient vécus comme un simple déballage d'outils mathématiques, deux applications simples mais importantes seront abordées dans le cours : les problèmes historiques de construction à la règle et au compas et une initiation à la cryptographie (science de la communication secrète).
Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement
Le cours a pour but de rendre compte des concepts de base de l'algèbre classique depuis la théorie des groupes jusqu'aux débuts de l'algèbre linéaire, objet d'autres cours.
Savoirs et compétences prérequis
Aucun prérequis de connaissance spécifique n'est requis. Seuls sont demandés un certain goût pour la rigueur et une aptitude à l'abstraction comme on peut les concevoir en fin d 'un deuxième bloc du bachelier en sciences mathématiques.
Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement
Mode d'enseignement (présentiel ; enseignement à distance)
Le cours se donne au premier ou au deuxième quadrimestre du 3ème bloc du bachelier en sciences mathématiques, selon l'horaire distribué en début d'année, à l' Institut de Mathématique. Il consiste en des leçons ex cathedra d'une heure ou deux dont le rythme et le contenu sont fortement influencés par les questions et remarques de l'auditoire. Le but des exercices est tout d'abord de donner une assise concrète aux concepts développés dans le cours théorique et ensuite d'acquérir une certaine technique, principalement dans la manipulation des groupes finis et les anneaux de polynômes.
Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours
Le syllabus peut être obtenu au secrétariat de l' Institut de Mathématiques. Outre ces notes de cours, l'étudiant pourra consulter avec profit des livres sur le sujet à la bibliothèque . En particulier : -Bouvier & Richard : GROUPES, Actualités scientifiques et industrielles, 1383, Hermann, Paris (1974). -Bhattachanga et al. : BASIC ABSTRACT ALGEBRA, Cambridge University Press, London (1986).
Modalités d'évaluation et critères
L' examen de la première session se comporte une partie écrite concernant uniquement les exercices. Leur niveau est à peu près équivalent à ceux résolus lors des répétitions. Une deuxième partie, orale, concerne la théorie. Les sous-questions peuvent comprendre un très court exercice ou une illustration concrète des concepts théoriques rencontrés. L'examen de septembre ne comporte qu'une partie orale (une ou deux questions de théorie et un exercice).
Stage(s)
Remarques organisationnelles
Contacts
HANSOUL Georges
Institut de Mathématique - Bât. B37
Bureau 059
Grande Traverse, 12 - 4000 Liège
(Sart Tilman)
Tél. : 04/366.94.69
Fax : 04/366.95.47
E-mail : G.Hansoul@ulg.ac.be
Julien RASKIN
Tél. : 04/366.94.32
E-mail : J.Raskin@ulg.ac.be
Laurent DE RUDDER
Tél. : 04/366.94.06
E-mail : L.DeRudder@ulg.ac.be