Topologie générale

Durée

25h Th, 20h Pr

Nombre de crédits

Enseignant

Céline Esser

Langue(s) de l'unité d'enseignement

Langue française

Organisation et évaluation

Enseignement au premier quadrimestre, examen en janvier

Unités d'enseignement prérequises et corequises

Les unités prérequises ou corequises sont présentées au sein de chaque programme

Contenus de l'unité d'enseignement

Ce cours est une introduction à la topologie générale.
Cette discipline a pour objet principal l'étude abstraite de notions telles que la continuité, la compacité, la connexité etc... ainsi que les propriétés et théorèmes s'y rapportant.
Ces notions sont définies dans un ensemble quelconque et généralisent celles qui ont été introduites au cours d'analyse de première année pour les espaces euclidiens.
On pourra aborder entre autres les thèmes suivants :
-La définition d'une topologie, les voisinages, l'intérieur, l'adhérence ou la frontière d'un ensemble, la continuité des applications.
-L'ordre dans l'ensemble des topologies, les topologies initiales et finales, les sous-espaces, les espaces produits et quotients.
-Les axiomes de séparation, la compacité et la connexité, ainsi que quelques théorèmes classiques.

Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) de l'unité d'enseignement

Les étudiants devront être capables au terme du cours d'exposer la théorie vue au cours ou de l'appliquer dans des exercices.
Ils connaîtront les concepts de base de la topologie générale.
Il devraient également être capables de parcourir la littérature pour présenter un rapport et un exposé sur un sujet déterminé par le responsable du cours.
Ces acquis de base en topologie générale seront utiles dans le cursus des étudiants tant en algèbre, en géométrie différentielle qu'en analyse, pour ne citer que les plus grands domaines d'utilisation. Ils devraient aussi permettre d'alimenter leur réflexion sur l'enseignement de certaines notions délicates de mathématiques de l'enseignement secondaire.

Savoirs et compétences prérequis

Une connaissance élementaire de la théorie des ensembles naïve, des fonctions, des espaces euclidiens et des espaces quotients est supposée. Une bonne connaissance des notions de topologie (ouverts, connexes, compacts...) dans les espaces euclidiens est également utile.

Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement

La théorie est exposée au tableau, et illustrée par des exemples simples, chaque fois que c'est possible, en interaction avec les étudiants.
Lors des séances d'exercices, les étudiants résolvent des exercices sous la supervision de l'enseignant, qui donne ensuite une solution. Dans la mesure du possible, des exercices seront distribués dans les jours qui précèdent ces séances et il sera demandé que les étudiants les préparent.

Mode d'enseignement (présentiel ; enseignement à distance)

Il s'agit d'un cours "en présentiel". L'horaire du cours et des évaluations sera fixé par le conseil des études de mathématiques, et disponible sur le site du département de mathématiques.

Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours

Des notes de cours sont disponibles sur la page web :
http://www.geodiff.ulg.ac.be
Ces notes seront disponibles (sur commande) au secrétariat général à un prix modique. Veuillez contacter D. Bartholomeus (bureau 0/28, bâtiment B37).
De nombreux ouvrages de topologie générale sont disponibles à la bibliothèque (Bâtiment B52).

Modalités d'évaluation et critères

Comme souvent en mathématique, l'examen comporte une partie orale et une partie écrite.
La partie écrite portera sur la résolution d'exercices, se rapportant aux thèmes vus aux cours et aux travaux pratiques.
La partie orale portera sur la théorie enseignée et ses applications immédiates. 
La note finale sera une moyenne arithmétique des notes obtenues par l'étudiant aux deux parties de l'examen, si les deux notes pour la partie écrite et oral sont supérieures ou égales à 7/20. Dans le cas contraire, la note finale pourrait être inférieure à la moyenne arithmétique.

Stage(s)

Remarques organisationnelles

Il est indiqué plus haut que l'examen aura lieu en janvier. Cette disposition doit être acceptée par le Conseil des études en mathématiques, qui est souverain en la matière et fixe également l'horaire des examens.

Contacts

Pour le cours théorique et les exercices, vous pouvez me contacter, de préférence par email (voir plus bas) pour fixer un rendez-vous, ou en venant directement à mon bureau :
Céline Esser
Email : Celine.Esser@uliege.be
Département de Mathématique, Allée de la Découverte, 12, B37, 4000 Liège, Sart-Tilman. Bureau 0/62 Vous pouvez également contacter M. J. Raskin. Bureau 0/56 (bâtiment B37).