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| MATH0215-3 | Algèbre
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| Durée : | 35h Th, 15h Pr |
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| Nombre de crédits : |
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| Nom du professeur : | Michel Rigo |
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Langue(s) du cours :
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| Langue française |
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Contenus du cours :
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| Le cours est consacré à l'étude de l'algèbre linéaire en dimension finie. Une part importante du cours couvre les espaces vectoriels (indépendance linéaire, base, dimension, sous-espace vectoriel, somme directe). On présente les applications linéaires (image, noyau, théorème de la dimension,...), les vecteurs propres et les valeurs propres d'un endomorphisme, les (systèmes de) projecteurs, le dual d'un espace vectoriel, une théorie détaillée de la diagonalisation, en incluant les endomorphismes nilpotents et la réduction à la forme normale de Jordan (dans le cas complexe uniquement). On étudie aussi les matrices normales, hermitiennes et unitaires et leurs applications. Enfin, on présente aussi les polynômes et fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes : lemme de Gauss, théorème fondamental de l'algèbre, formules de Viète, anneau des polynômes sur un champ quelconque et ses idéaux (en particulier, notion d'anneau principal), règle de Descartes, décompostion en fractions simples. |
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Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) du cours :
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| Au terme de ce cours, l'étudiant devra avoir acquis la rigueur indispensable à tout raisonnement mathématique et apprivoisé l'abstraction inhérente aux structures et concepts manipulés. Il/elle sera en mesure d'argumenter ses affirmations et maîtrisera les principaux concepts issus de l'algèbre linéaire. L'étudiant disposera d'un arsenal de résultats théoriques compris en profondeur et pour lesquels il/elle sera capable d'en fournir et d'en expliquer les preuves. Il/elle pourra mettre en oeuvre plusieurs résultats du cours pour résoudre un exercice de réflexion. Ainsi, l'étudiant sera à même de fournir une base d'un sous-espace vectoriel, de tirer parti des représentations matricielles des applications linéaires, de la diagonalisation (en ce compris le cas des matrices normales, hermitiennes et unitaires), de la réduction à la forme de Jordan. En outre, il manipulera avec aisance les polynômes et les fractions rationnelles (par exemple, recherche d'un pgcd, décomposition en fractions simples, comportement asymptotique,...). En particulier, l'étudiant sera aussi en mesure d'exploiter les techniques acquises dans le cours d'algèbre pour résoudre des problèmes liés à d'autres branches des mathématiques : étude de lieux géométriques, recherche d'extrema pour des fonctions de plusieurs variables, applications de la diagonalisation aux systèmes d'équations différentielles, aux chaînes de Markov ou encore en combinatoire (par exemple, étude qualitative du nombre de chemins de longueur n dans un graphe) et en statistiques (par exemple, analyse en composantes principales), calcul de la puissance n-ième d'une matrice, ... |
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Prérequis et corequis / Modules de cours optionnels recommandés :
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| Une maîtrise parfaite des connaissances mathématiques vues dans le cours de "mathématiques générales" est souhaitée, en particulier, les éléments de calcul matriciel en ce compris les déterminants. Une habitude à l'abstraction et aux raisonnements mathématiques est un atout. |
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Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement :
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| Les séances de répétition sont principalement dédiées à la résolution d'exercices se rapportant à la matière enseignée. Ces séances permettent également d'obtenir des compléments d'information ou l'illustration de concepts présentés au cours théorique.
De plus, des préparations de listes d'exercices seront systématiquement demandées pour la répétition suivante. |
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Mode d'enseignement (présentiel ; enseignement à distance) :
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| L'horaire régulier du cours sera communiqué aux étudiants lors de l'accueil le jour de la rentrée. Pour les séances de travaux pratiques, un horaire détaillé et la répartition des étudiants en séries seront distribués. |
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Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours :
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| Des notes reprenant l'ensemble de la matière enseignée au cours théorique seront distribuées aux étudiants en début d'année. Ces notes sont téléchargeables sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ |
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Modalités d'évaluation et critères :
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| L'examen en session comporte une partie orale et une partie écrite. La partie écrite porte sur la résolution d'exercices. La partie orale porte sur la théorie (en particulier, il est attendu que les étudiants connaissent les preuves des résultats énoncés) et des applications immédiates de celle-ci. |
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Remarques organisationnelles :
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| Des compléments d'information sont disponibles sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ |
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Contacts :
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| M. Rigo
Institut de Mathématique (B37) -
Grande Traverse 12 -
Sart Tilman, 4000 Liège
Tél. : (04) 366.94.87 -
E-mail : M.Rigo@ulg.ac.be |
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| Notes en ligne : |
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