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| MATH0201-2 | Algèbre I
- partim a) Introduction à l'étude universitaire de l'algèbre
- partim b) Algèbre
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| Durée : | partim a) Introduction à l'étude universitaire de l'algèbre : 20h Th
partim b) Algèbre : 50h Th, 50h Pr
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| Nom du professeur : | partim a) Introduction à l'étude universitaire de l'algèbre : Michel Rigo
partim b) Algèbre : Michel Rigo
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Langue(s) du cours :
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| Langue française |
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Contenus du cours :
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| En guise d'introduction et d'illustration au cours d'algèbre, on présente dans ce partim les nombres complexes et leurs principales propriétés. Ceci permet en particulier de voir ou de rappeler les bases du raisonnement mathématique et de la construction de preuves rigoureuses.
 | | partim a) Introduction à l'étude universitaire de l'algèbre |
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| En guise d'introduction et d'illustration du cours d'algèbre, on présente dans ce partim les nombres complexes et leurs principales propriétés. Ceci permet en particulier de voir ou de rappeler les bases du raisonnement mathématique et de la construction de preuves rigoureuses. |
| | partim b) Algèbre |
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| Le cours est consacré à l'étude de l'algèbre linéaire en dimension finie. On débute avec les structures algébriques de groupe, d'anneau, de corps et de champ. Ces concepts sont illustrés en étudiant les entiers modulo p. En particulier, cela nous permettra d'envisager des espaces vectoriels sur un champ quelconque. Concernant l'algèbre linéaire à proprement parler, on débute avec le calcul matriciel et la théorie des déterminants et du rang, pour poursuivre avec l'étude des systèmes linéaires. On insiste en particulier sur la structure des solutions et sur la discussion de la compatibilité de systèmes. Une part importante du cours couvre les espaces vectoriels (indépendance linéaire, base, dimension, sous-espace vectoriel, somme directe). On présente les applications linéaires (image, noyau, théorème de la dimension,...), les vecteurs propres et les valeurs propres d'un endomorphisme, les (systèmes de) projecteurs, le dual d'un espace vectoriel, une théorie détaillée de la diagonalisation, en incluant les endomorphismes nilpotents et la réduction à la forme normale de Jordan (dans le cas complexe uniquement). On étudie aussi les matrices normales, hermitiennes et unitaires et leurs applications. Enfin, on présente aussi les polynômes et fractions rationnelles à coefficients réels ou complexes : lemme de Gauss, théorème fondamental de l'algèbre, formules de Viète, anneau des polynômes sur un champ quelconque et ses idéaux (en particulier, notion d'anneau principal), règle de Descartes, décompostion en fractions simples. |
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Acquis d'apprentissage (objectifs d'apprentissage) du cours :
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| | partim b) Algèbre |
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| Au terme de ce cours, l'étudiant devra avoir acquis la rigueur indispensable à tout raisonnement mathématique et apprivoisé l'abstraction inhérente aux structures et concepts manipulés. Il/elle sera en mesure d'argumenter ses affirmations et maîtrisera les principaux concepts issus de l'algèbre linéaire. L'étudiant disposera d'un arsenal de résultats théoriques compris en profondeur et pour lesquels il/elle sera capable d'en fournir et d'en expliquer les preuves. Il/elle pourra mettre en oeuvre plusieurs résultats du cours pour résoudre un exercice de réflexion. Ainsi, l'étudiant manipulera aisément les techniques classiques de calcul matriciel, sera à même d'étudier la compatibilité d'un système, de fournir une base d'un sous-espace vectoriel, de tirer parti des représentations matricielles des applications linéaires, de la diagonalisation (en ce compris le cas des matrices normales, hermitiennes et unitaires), de la réduction à la forme de Jordan. En outre, il manipulera avec aisance les polynômes et les fractions rationnelles (par exemple, recherche d'un pgcd, décomposition en fractions simples, comportement asymptotique,...). En particulier, l'étudiant sera aussi en mesure d'exploiter les techniques acquises dans le cours d'algèbre pour résoudre des problèmes liés à d'autres branches des mathématiques : étude de lieux géométriques, recherche d'extrema pour des fonctions de plusieurs variables, applications de la diagonalisation aux systèmes d'équations différentielles, aux chaînes de Markov ou encore en combinatoire (par exemple, étude qualitative du nombre de chemins de longueur n dans un graphe) et en statistiques (par exemple, analyse en composantes principales), calcul de la puissance n-ième d'une matrice, ... |
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Prérequis et corequis / Modules de cours optionnels recommandés :
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| | partim b) Algèbre |
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| Une maîtrise parfaite des connaissances mathématiques vues dans l'enseignement secondaire est souhaitée. Une habitude à l'abstraction et aux raisonnements mathématiques est un atout. Le partim a) du cours est en particulier destiné à développer cette habitude. |
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Activités d'apprentissage prévues et méthodes d'enseignement :
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| | partim b) Algèbre |
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| Les séances de répétition sont principalement dédiées à la résolution d'exercices se rapportant à la matière enseignée. Ces séances permettent également d'obtenir des compléments d'information ou l'illustration de concepts présentés au cours théorique.
Lors de ces séances, les étudiants sont répartis en groupes. L'horaire des séances sera communiqué à la rentrée. La présence aux répétitions est fortement conseillée.
De plus, des préparations de listes d'exercices seront systématiquement demandées pour la répétition suivante. |
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Mode d'enseignement (présentiel ; enseignement à distance) :
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| | partim b) Algèbre |
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| L'horaire régulier du cours sera communiqué aux étudiants lors de l'accueil le jour de la rentrée. Pour les séances de travaux pratiques, un horaire détaillé et la répartition des étudiants en séries seront distribués. |
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Lectures recommandées ou obligatoires et notes de cours :
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| | partim b) Algèbre |
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| Des notes reprenant l'ensemble de la matière enseignée au cours théorique seront distribuées aux étudiants en début d'année. Ces notes sont téléchargeables sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ |
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Modalités d'évaluation et critères :
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| | partim b) Algèbre |
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| Des tests seront organisés durant l'année. Ils ont pour but d'encourager l'étude et le travail réguliers et de permettre aux étudiants de s'auto-évaluer. De bons résultats à ces tests seront pris en compte pour la note finale. Bien que constituant une sérieuse mise en garde, de mauvais résultats à ces tests ne seront pas pris en compte pour la note finale.
Une interrogation générale (écrit uniquement) sera organisée à la rentrée de janvier. Cette interrogation dispensatoire comportera à la fois des questions de théorie et des exercices.
L'examen en session comporte une partie orale et une partie écrite. La partie écrite porte sur la résolution d'exercices. La partie orale porte sur la théorie et des applications immédiates de celle-ci. L'interrogation de janvier représente un tiers de la cote finale. Les étudiants ayant obtenu en janvier une note (strictement) inférieure à 10 seront aussi réinterrogés en session sur la matière spécifique à cette interrogation. |
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Remarques organisationnelles :
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| | partim b) Algèbre |
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| Des compléments d'information sont disponibles sur http://www.discmath.ulg.ac.be/ |
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Contacts :
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| | partim b) Algèbre |
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| M. Rigo
Institut de Mathématique (B37) -
Grande Traverse 12 -
Sart Tilman, 4000 Liège
Tél. : (04) 366.94.87 -
E-mail : M.Rigo@ulg.ac.be |
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| Notes en ligne : |
partim b) Algèbre
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